Conjecture :Il n'existe pas de nombres entiers non nuls , et tels que : xn + yn = zndès que n est un entier strictement supérieur à 2. |
Cet énoncé affirme qu'il existe des solutions pour n=2, ce qu'il convient de vérifier, bien évidement. Un petit programme informatique doit pouvoir y parvenir. On va calculer une liste de puissance de deux suffisamment grande, et par une combinatoire deux par deux de tous les élément calculés, vérifier s'il existe dans cette liste un troisième élément qui en soit l'addition.
dim laplace ( 1001 , 3 )
|
Ce qui donne la sortie suivante :
| Solution numéro 1
x = 0 y = 0 z = 0 0 + 0 = 0 Solution numéro 2 x = 2 y = 0 z = 2 4 + 0 = 4 Solution numéro 3 x = 3 y = 4 z = 5 9 + 16 = 25 Solution numéro 4 x = 5 y = 12 z = 13 25 + 144 = 169 Solution numéro 5 x = 7 y = 24 z = 25 49 + 576 = 625 Solution numéro 6 x = 9 y = 40 z = 41 81 + 1600 = 1681 Solution numéro 7 x = 11 y = 60 z = 61 121 + 3600 = 3721 Solution numéro 8 x = 13 y = 84 z = 85 169 + 7056 = 7225 Solution numéro 9 x = 15 y = 112 z = 113 225 + 12544 = 12769 Solution numéro 10 x = 17 y = 144 z = 145 289 + 20736 = 21025 Solution numéro 11 x = 19 y = 180 z = 181 361 + 32400 = 32761 Solution numéro 12 x = 21 y = 220 z = 221 441 + 48400 = 48841 Solution numéro 13 x = 23 y = 264 z = 265 529 + 69696 = 70225 Solution numéro 14 x = 25 y = 312 z = 313 625 + 97344 = 97969 Solution numéro 15 x = 27 y = 364 z = 365 729 + 132496 = 133225 Solution numéro 16 x = 29 y = 420 z = 421 841 + 176400 = 177241 Solution numéro 17 x = 31 y = 480 z = 481 961 + 230400 = 231361 Solution numéro 18 x = 33 y = 544 z = 545 1089 + 295936 = 297025 Solution numéro 19 x = 35 y = 612 z = 613 1225 + 374544 = 375769 Solution numéro 20 x = 37 y = 684 z = 685 1369 + 467856 = 469225 Solution numéro 21 x = 39 y = 760 z = 761 1521 + 577600 = 579121 Solution numéro 22 x = 41 y = 840 z = 841 1681 + 705600 = 707281 Solution numéro 23 x = 43 y = 924 z = 925 1849 + 853776 = 855625 x² + y² = z² |
Il est possible de vérifier, tout comme Fermat l'a vraisemblablement fait, que le programme fonctionne bien et que les additions sont exactes.
Nous pouvons alors examiner d'un peu plus près les résultats obtenus, et chercher quelques singularités.
Ce qui saute au yeux immédiatement, c'est que x est toujours impair 3, 5, 7, 9, ... et que z - y = 1
Essayons de comprendre, par le biais d'une représentation géométrique, les raisons profondes de ce résultat.
z est toujours impair.
y est toujours pair.
Pour la première réponse valide, nous pouvons additionner des dominos et former ces trois montages, les 9 éléments du petits carré venant constituer la dernière couche. La juxtaposition des trois surfaces donne le carré central pris en sandwich entre le plus petit carré clair situé à gauche et le plus grand situé à droite.
Nous avons donc découvert la méthode de représentation graphique pour n = 2 reprenant les constats faits sur les résultats numériques.
3 x 3 = 9 |
4 x 4 = 16 |
5 x 5 = 25 |
Solution numéro 3
x = 3 y = 4 z = 5
9 + 16 = 25
Ce qui est représenté ci -dessous; la dernière couche bigarrée est constituée de neufs dominos, 4 + 1 + 4 = 9 qui correspond bien au même nombre des petits carrés clairs, 3 x 3 = 9
Pour satisfaire la suite des Y pairs, nous pouvons poser x = 2a + 1 avec a composé de la suite des nombres 1, 2, 3, 4, 5, ...
Nous obtenons alors comme solution pour n = 2
x = 2a + 1
z = y + 1
et en remplaçant dans la formule x² + y² = z²
( 2a + 1 )² + y² = ( y + 1 )²
4a² + 4a + 1 + y² = y² + y + 1
4a² + 4a = 2y
ce qui donne
y = 2a ( a + 1 ) qui est donc toujours pair.
| x = 2a + 1
y = 2a ( a + 1 ) z = 2a ( a + 1 ) + 1 pour tout a > 0 il y a toujours une solution acceptable pour n=2 |
La surface occupée par la bande externe de dominos colorés, occupe la même surface que le carré jaune, c'est à dire x²
C'est ce constat qui permet de poser la base de la démonstration.
0n va maintenant faire tourner l'algorithme pour n=3, il suffit de modifier ainsi le code : laplace [ i , 2 ]= i*i --> laplace [ i , 2 ]= i*i*i
| Solution numéro 1
x = 0 y = 0 z = 0 0 + 0 = 0 Solution numéro 2 x = 2 y = 0 z = 2 8 + 0 = 8 x³ + y³ = z³ |
Non nul disait Monsieur Fermat, en parlant de nombres entiers... il n'y a donc pas de solution valide qui apparaît, la question, c'est pourquoi ?
Pour passer de n=2 à n=3 on fait une petite représentation en 3D :
- Pour obtenir x³, nous devons multiplier x² par x
- Pour obtenir y³, nous devons multiplier y² par y
- Pour obtenir z³, nous devons multiplier z² par z
- x² + y² = z² --> x³ + y³ =z³
Pour additionner deux cubes, le petit et le moyen pour arriver au grand, on constate facilement que nous sommes dans une approche identique pour n = 3 à celle de n = 2, sauf que nous avons une profondeur supplémentaire. Toutes les arêtes des cubes sont situées sur une même diagonale comme représentées ci dessous :
Nous pouvons projeter cette droite ainsi que les cubes sur un plan afin de faciliter la représentation et le raisonnement.
Nous allons vérifier que le passage de n=2 à n=3 ne permet pas de trouver trois nombres entiers naturels satisfaisant à la relation x³ + y³ =z³
Nous pouvons en première analyse multiplier x² par x pour obtenir x³, y² par y pour obtenir y³, et y² par y pour obtenir y³
x² + y² = z² --> x³ + y³ = z³
On suppose que cette égalité avec n=3 VRAIE, pour qu'en effectuant sa vérification, on puisse trouver au moins un exemple qui démontre qu'elle ne l'est pas.
Démonstration 1:
on remplace x, y, et z par leur valeur respective :
( 2a + 1 )³ + (2a ( a + 1 ))³ = (2a ( a + 1 ) + 1)³
Pour disposer du calcul le plus simple, on teste avec a = 1 on obtient :
3³ + 4³ = 5³
27 + 64 = 125
91 = 125 ... ce qui évidement viole la base de l'égalité sur laquelle repose toute mathématique. On peut tester avec tout a > 1 pour arriver à la même conclusion.
Il n'existe donc pas de solution pour x³ + y ³ = z³ par l'emploi de nombres entiers non nuls.
Généralisation 1:
Quelle que soit la valeur de a le résultat obtenu sera tout aussi faux, et en passant de n= 3 à 4, 5, 6, ... N nous ne feront que multiplier les deux terme d'une égalité fausse, avec comme seul détail apparent, que les puissances de z croissent exponentiellement plus rapidement que la somme des puissances additionnées de x et y
Nous pouvons donc fortement supposer
que le dernier théorème de Fermat est exact dans sa formulation, mais une
démonstration plus serrée est souhaitable. Nous devons démontrer qu'il est
impossible que par le plus grand des hasards, un triplet de trois nombre
entiers non nuls satisfaisant à
la relationxn + yn =
zn dès que n est
un entier strictement supérieur à 2 est impossible à trouver.
Démonstration 2:
On va générer l'ensemble des cubes en partant du cube unitaire. On rajoute trois face au cube, et on complète les trois arêtes manquantes, sans oublier un cube supplémentaire. On rajoute donc partiellement une couche sur un cube existant pour obtenir le second de la liste.
Inversement, on peut procéder par soustraction, à partir d'un cube, on
enlève trois couches successivement de même épaisseur pour dégager un nouveau
cube.
On peut très facilement calculer le volume correspondant à la couche enlevée ou ajoutée. Si son épaisseur est égale à e, nous avons 3*e*x² + 3*e*x + e² pour la méthode additive, et e*(x + e)² + e*x*(x+e) + e*x² pour la méthode soustractive et en simplifiant cette deuxième formule, on retombe sur le volume de la couche V = 3*e*x² + 3*e*x + e²
Comme on peut obtenir tous les cubes possibles et imaginables en ajoutant à
chaque fois une couche d'épaisseur égale à
un, car un cube et sa couche forme obligatoirement un nouveau cube, on peut
ajouter une couche d'épaisseur e = 1 pour simplifier la formule qui devient
alors V = 3x² + 3x + 1
| dim laplace ( 1001 , 5
) dim i(1) for i = 1 to 1000 step 1 laplace [ i , 1 ]= i laplace [ i , 2 ]= i*i*i laplace [ i , 3 ]=3* i*i + 3*i + 1 laplace [ i , 4 ]= (i+1)*(i+1)*(i+1) print laplace [ i , 1 ] + " - " + laplace [ i , 2 ] + " - " + laplace [ i , 3 ] + " - " + laplace [ i , 4 ] next i |
On va calculer successivement les 1000 premiers cubes, la couche nécessaire à leur ajouter pour obtenir le cube suivant, pour avoir une idée de comment cette suite fonctionne, et trouver ainsi quelques caractéristiques propres à éclairer notre réflexion. La grandeur de la couche à rajouter se situe entre les valeurs de deux cubes successifs, sauf tout au début. On note aussi une certaine périodicité, pour la couche, il y a une périodicité 1_7_9_7_1 sur le dernier chiffre de la couche. Le tableau des résultats se trouve dans les notes, car il est assez long.
On peut donc générer tous les cubes à partir du cube unitaire, en rajoutant à chaque fois au cube obtenu une couche égale à 3*x² + 3*x + 3 tous les cubes s'emboitent les uns dans les autres. Si l'on considére un cube donné, pour obtenir un cube quelconque désiré, il faut ajouter au premier cube toutes les couches intermédiaires pour y arriver. Ce qui revient à démonter que quelque soit le nombre de couches nécessaires, la sommes de ces dernières ne formera jamais un cube. Nous allons donc déterminer la formule qui permet de calculer le nombre de cubes unitaires nécessaire pour former une couche quelconque et tracer sur le même graphique les courbes :
En rouge, f(x) = Z³
En bleu, f(x) = 3*x² + 3*x + 3
Avec une petite vue agrandie :
Seuls les points situés sur la courbe en rouge à l'abscisse de x entier
naturel sont des cubes qui sont représentatif de x³
Aucun point bleu n'est également situé sur la courbe rouge. Il n'existe donc pas de solution pour qu'une couche ajoutée à un cube pour faire un autre cube soit elle-même un cube. C'est la contrainte exercée sur l'ensemble infini des cubes qui n'autorise pas pareille possibilité.
Le seul point d'intersection des deux courbes ne se produit pas pour un entier naturel, mais pour x = 3.84732
Il n'existe donc pas de solution pour x³ + y ³ = z³ par l'emploi de nombres entiers non nuls.
Généralisation 2:
Quelle que soit la valeur de n>3 le résultat obtenu sera tout aussi impossible, car nous aurons toujours une différence de degré entre les deux valeurs situées à gauche et à droite du signe d'égalité, en passant à des valeurs de N supérieurs, ces différence iront s'accentuant, la courbe Z ayant la plus grande puissance ne croisera jamais la courbe représentant les valeurs de yn
#rajouter pour illustration une
courbe pour n =4
Nous pouvons donc conclure que le dernier théorème de Fermat est exact dans sa formulation.
Théorème :Pour des nombres entiers non nuls , et tels que : xn + yn = zndès que n est un entier strictement supérieur à 2. |
Mise en perspective :
Si les nombres sont symbolisés par des petits cubes, ce qui permet de les manipuler facilement, en les alignant les uns derrière les autres, nous pouvons former ainsi tous les nombres entiers naturels. En superposant les alignements, les surfaces obtenues ne sont alors qu'un simple réajustement, correspondant à une multiplication simple, et l'empilement de surfaces, permet de définir les volumes par la multiplication de trois chiffres. Les opérations élémentaires ne sont alors qu'une mise en forme spécifique.
Par exemple, le chiffre neuf, peut être représenté par une ligne de neuf petits cube de bois. :
Mais nous pouvons les grouper en trois lignes de trois. Il y a toujours le même nombre d'éléments, seule la disposition a changé. Nous pouvons alors écrire 3*3 = 9
Si nous doublons les deux figures, nous aurons :
3*3 + 3*3 = 9 + 9
Et si nous voulons avoir la forme parfaite du cube, nous empilons trois couches :
Ce que nous pouvons faire comme manipulation avec nos mains sur des éléments identiques, nous pouvons le faire de façon transposé et stylisée par la biais de l'écriture, mais fondamentalement, ce n'est qu'un décalque. C'est ce qui fonde la correspondance des mathématiques avec le réel. On travaille sur une simple translation du réel vers le symbolique, et le résultat obtenu correspond à une égalité dans le réel, symbolisé par le signe égal = . Et c'est bien cette relation d'égalité qui permet de manipuler des deux cotés, d'effectuer une mise en forme de chaque coté du signe égal, qui en manipulant symboliquement les éléments situés à gauche et à droite du signe égal, par le biais d'opérations codifiées, nous permet d'obtenir la valeur pour une grandeur que l'on désire connaître.
Notes :
- Le logiciel Basic-256 est disponible en Open Source.
- Pour tracer les courbes : http://www.mathe-fa.de/fr
- Cette page a été conçue avec Amaya 11.4.4
- Merci à Ubuntu qui fonctionne parfaitement.
Pour chaque nombre entier naturel, son cube, la couche à rajouter pour obtenir le cube suivant, et ce dernier cube. Quand on essaie de trouver des couches qui soient également des cubes, on ne trouve rien en faisant une recherche récursive sur les nombres trouvés ci-dessous, et l'on sait maintenant pourquoi...